Algebra e Geometria

Informazioni da fornire per ogni singolo insegnamento

 

Denominazione dell’insegnamento:  Algebra e Geometria                            

 

Corso di Laurea o di Laurea Magistrale :  LT-Ingegneria elettronica ed Informatica                  

 

SSD:  MAT/03                                                                   Numero C.F.U.:  8                

 

 

Titolari: Giuseppe Marino                               

 

 

 

Obiettivi del corso

 

Introduzione ai metodi del calcolo matriciale, dell’algebra lineare e della geometria analitica in 2 e 3 dimensioni.

 

 

 

Programma del corso

  • Vettori numerici e matrici su un campo K. Richiami di teoria degli insiemi. Operazioni interne ed esterne.  Relazione d'ordine e di equivalenza su un insieme. Definizione di campo. Il campo dei numeri reali e il campo dei numeri complessi.  Operazioni tra vettori numerici e struttura di spazio vettoriale di Kn. Prodotto scalare numerico e sue proprietà. Operazioni tra matrici ad elementi in K: struttura di spazio vettoriale sull’insieme Km,n delle matrici di tipo (m,n). Matrici simmetriche ed antisimmetriche. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Operazioni elementari sulle righe di una matrice, algoritmo di riduzione a gradini.  Determinante di una matrice quadrata, proprietà elementari e teoremi di Laplace e Binet (senza dim). Matrici invertibili. Rango di una matrice e teorema degli orlati (senza dim). Metodi per calcolare il rango. Matrici ortogonali.
  • Sistemi di equazioni lineari. Definizione di equazione lineare e di sistema di equazioni lineari nelle indeterminate x1, x2,…, xn a coefficienti in un campo K. Sistemi compatibili ed incompatibili. Primo criterio di compatibilità (con dim), teorema di Rouchè-Capelli (con dim). Algoritmo di Gauss-Jordan per la risoluzione di un sistema lineare e “numero” di soluzioni di un sistema lineare. Sistemi di Cramer e metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare (con dim).
  • Spazi vettoriali su un campo K. Definizione di spazio vettoriale e proprietà elementari. Esempi: spazi vettoriali numerici, spazio delle matrici, spazio dei vettori applicati (del piano e dello spazio). Sottospazi vettoriali e operazioni tra essi: intersezione, sottospazio generato. Somma e somma diretta di due sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Spazi vettoriali di dimensione finita: sistemi di generatori, basi e riferimenti, dimensione. Lemma di Steinitz (senza dim.). Equipotenza delle basi di uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita e loro dimensione. Relazione di Grassmann (senza dim). Proprietà della coordinazione, equazione dei sottospazi in un riferimento fissato.vertibilità e trice quadrata, il gruppo lineare generale, criterio di Il sottospazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Teorema di rappresentazione dei sottospazi di Kn.
  • Diagonalizzazione di matrici. Matrici simili. Definizione di matrice  diagonalizzabile. Autovettori, autovalori e autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Polinomio caratteristico di una matrice. Teorema spettrale (senza dim), ricerca di una base di autovettori.
  • Spazi vettoriali euclidei standard. Prodotto scalare standard in Rn: disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, modulo della somma, disuguaglianza di Minkowski (o triangolare). Angolo fra due vettori, parallelismo e ortogonalità. Versori, basi ortonormali. Complemento ortogonale di un sottospazio: proprietà e dimensione; casi particolari per n=2,3. Prodotto scalare standard tra vettori geometrici. Prodotto vettoriale: definizione, proprietà e significato geometrico.
  • Diagonalizzazione ortogonale. Matrici quadrate reali ortogonalmente diagonalizzabili. Equivalenza tra matrici simmetriche e matrici ortogonalmente diagonalizzabili (senza dim). Ricerca di una base ortonormale di autovettori di una matrice simmetrica.
  • Elementi di Geometria Analitica. Spazio vettoriale dei vettori applicati del piano e dello spazio. Definizione di piano euclideo E2 e spazio euclideo E3 . I sottospazi affini di E2 ed E3: rette e piani. Distanza, angoli, parallelismo e ortogonalità. Riferimento cartesiano e coordinate. Formule di trasformazione delle coordinate. Rappresentazione analitica di rette nel piano e di rette e piani nello spazio. Formule di geometria analitica nel piano e nello spazio. Rette complanari e sghembe e condizioni analitiche. Parallelismo e ortogonalità (totale e parziale) tra sottospazi affini di E2 ed E3. Distanza di un punto da una retta e da un piano, distanza tra due rette e distanza tra due piani. Proiezione ortogonale di un punto su una retta e su un piano. Simmetrico di un punto rispetto ad un punto, rispetto ad una retta e rispetto ad un piano. Movimenti del piano euclideo: traslazioni, rotazioni, simmetrie ortogonali e glissoriflessioni. Simmetrie ortogonali dello spazio euclideo di asse una retta o un piano. Elementi di teoria delle coniche: coniche degeneri e non degeneri. Classificazione delle coniche mediante lo studio della matrice associata. La sfera dello spazio euclideo E3.

Curricula scientifici dei docenti

Sono resi disponibili a cura del docente: Giuseppe Marino

 

Competenze attese in ingresso e/o Propedeuticità

 Nessuna

Risultati d’apprendimento attesi

Comprensione dello spirito e delle tecniche dell'algebra lineare e capacita' di usarle nella risoluzione di problemi. Buona abilita' nell'affrontare problemi di geometria analitica.

Anno del corso di studio in cui è inserito

Primo anno

Testi di riferimento

  • G. Anichini, G. Conti, R. Paoletti: Algebra lineare e geometria analitica (Eserciziario), Pearson
  • M.R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli: Geometria, Esculapio, Progetto Leonardo
  • Barani, L. Grasselli, C. Landi: Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e svolti.  Esculapio, Progetto Leonardo
  • Olanda D.: Note di Algebra lineare e geometria analitica
  • Procesi R., Rota R.: Esercizi di Geometria e Algebra, Zanichelli

Materiale didattico aggiuntivo

Sono resi disponibili a cura del docente: Giuseppe Marino

 

Modalità di erogazione

Tradizionale.

Sede

Via Michelangelo - Via Roma 29 Aversa.

Organizzazione della didattica

Lezioni ed esercitazioni in aula

Modalità di frequenza

Obbligatoria

Metodi di valutazione

Valutazione di una prova scritta e di una prova orale

Dati statistici delle votazioni conseguite dagli studenti

Sono resi disponibili a cura del docente: Giuseppe Marino

 

Calendario delle attività didattiche

Dal 14 settembre al 21 dicembre 2013, sito _____________________

Eventuali attività di supporto alla didattica

Attività didattica integrativa svolta in aula e attività tutoriali di assistenza alla didattica

Orari di ricevimento studenti

Sono resi disponibili a cura del docente: Giuseppe Marino

 

Calendario delle prove di esame

Disponibile sul sito esami.ceda.unina2.it e sul sito del docente: Giuseppe Marino