Analisi Matematica 2

Denominazione dell’insegnamento:   ANALISI MATEMATICA 2                         
Corso di Laurea o di Laurea Magistrale :   Corso di Laurea in Ingegneria Informatica ed Elettronica                
SSD:  MAT 05                                                                  Numero C.F.U.:  12                
Titolari:  Anna Maria Piccirillo                            

 

Obiettivi del corso

 

 L’obiettivo del corso è fornire i concetti fondamentali del calcolo differenziale per le funzioni di più variabili reali e per le funzioni analitiche allo scopo di sviluppare abilità che agevolino la costruzione di modelli attendibili di fenomeni reali e che consentano di operare con consapevolezza.

 

 

 

Programma del corso

 Spazi normati : Spazi vettoriali. Spazi normati. Spazio di Banach. Spazi con prodotto scalare. Spazio prehilbertiano. Spazio di Hilbert.
Lo spazio euclideo Rm: Lo spazio numerico Rm. Rm spazio vettoriale. Rm spazio euclideo. Intorni di un punto di Rm; punti di accumulazione; insiemi chiusi, aperti, compatti. Regioni e domini di Rm; insiemi connessi .  
Funzioni scalari e vettoriali di m variabili reali. Continuità e limiti: Funzioni scalari e vettoriali di m variabili reali. Campi vettoriali. Funzioni vettoriali per la rappresentazione di rette, segmenti e poligonali di Rk. Trasformazione polare. Diagramma di una funzione reale di due variabili reali. Continuità e limite. Criteri di continuità. Continuità delle funzioni elementari . Proprietà delle funzioni continue .
Derivazione parziale: Derivate parziali e gradiente di una funzione scalare. Divergenza e rotore di un campo vettoriale. Differenziale di una funzione in un punto. Condizione sufficiente per la differenziabilità Derivate delle funzioni vettoriali. La matrice Jacobiana. Teoremi di derivazione delle funzioni composte.Derivazione sotto il segno di integrale. Derivate direzionali .Condizione sufficiente per l’esistenza delle derivate direzionali (con dimostrazione). Derivate di ordine superiore . Teorema di Schwarz. Differenziali di ordine superiore.
Teoremi sulle funzioni dotate di derivate parziali: Funzioni implicite e teorema del Dini.Teorema di Lagrange. Funzioni con gradiente identicamente nullo. La formula di Taylor. Teoremi sui punti di massimo o di minimo locale: condizione necessaria, condizione sufficiente. Criteri di invertibilità locale e globale per una funzione vettoriale di m variabili reali a valori in Rm . Estremi vincolati di funzioni di due variabili. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Le funzioni omogenee e il teorema di Eulero.  
Integrale multipli secondo Riemann: Integrali doppi su rettangoli. Proprietà dell’integrale. Teorema di riduzione. Integrali doppi estesi ad insiemi limitati. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan . Insiemi di misura nulla. Proprietà dell’integrale. Teorema di riduzione per domini normali. Teorema di cambiamento delle variabili di integrazione per gli integrali doppi. Integrali tripli.
 Curve del piano e dello spazio. Integrale curvilineo: Curve del piano e dello spazio. Curve dotate
di equazione polare. Diagrammi polari. Curve semplici. Curve regolari. Orientamenti e versi di percorrenza. Domini regolari del piano e orientamento canonico della frontiera. Lunghezza di una curva regolare. Integrale curvilineo di una funzione scalare di due o tre variabili. Lavoro di un vettore su una curva orientata. Circuitazione di un vettore lungo una curva chiusa. Circuitazione di un vettore lungo la frontiera di un dominio regolare. Flusso uscente dalla frontiera. Formule di Gauss. Calcolo dell’area di un dominio regolare  .Teorema della divergenza e teorema di Stokes nel piano. Potenziali di un campo vettoriale. Campi conservativi. Condizione necessaria per la conservatività di un campo di classe C0. Condizione sufficiente per la conservatività di un campo di classe C0. Condizione necessaria per la conservatività di un campo di classe C1. Condizioni sufficienti per la conservatività di un campo di classe C1.  
 Superfici e integrale superficiale: Superfici. Superfici regolari . Orientamenti di una superficie e del suo bordo. Domini regolari dello spazio a orientamento della frontiera. Area di una superficie regolare o generalmente regolare. Integrale superficiale di una funzione reale di tre variabili . Flusso di un vettore attraverso una superficie regolare orientata. Circuitazione lungo il bordo e teorema di Stokes.  Il teorema della divergenza nello spazio. Esempi di superfici : superfici cilindriche, superfici di rotazione. Campi solenoidali. Condizione necessaria e sufficiente affinché un campo sia solenoidale.
Campi dotati di potenziale vettore.
Integrazione secondo Lebesgue : Misura secondo Lebesgue. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue delle funzioni misurabili. Teorema di Fubini. Teorema di Tonelli. Teorema di Beppo Levi. Teorema della convergenza dominata. Spazi Lp .
Funzioni di variabile complessa:  limiti e continuità di una funzione complessa. Le funzioni elementari: la funzione esponenziale, sen z, cos z, senh z, cosh z, tg z, tgh z, la funzione logaritmo. La funzione potenza. Funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy-Riemann.Derivate delle funzioni elementari e regole di derivazione. Integrale di una funzione complessa di variabile reale. Integrale curvilineo di una funzione complessa di variabile complessa. Integrale di una funzione complessa esteso ad una curva orientata. Teorema di Cauchy-Goursat. Prima formula integrale di  Cauchy, primitive delle funzioni olomorfe, un teorema di derivazione sotto il segno di integrale, formula integrale di Cauchy. Seconda formula integrale di Cauchy. Primitive delle funzioni complesse. Teorema di caratterizzazione delle primitive. Condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di primitive. Teorema di Morera. Serie di potenze. Lemma di Abel. Raggio di convergenza. Teorema di Abel sulla convergenza uniforme. Derivazione termine a termine delle serie di potenze. Analiticità delle funzioni olomorfe. Teorema di Taylor.Sviluppi in serie di Mc-Laurin delle funzioni elementari. Serie di Laurent. Il teorema di Laurent.Zeri di una funzione olomorfa. Teorema di caratterizzazione degli zeri di una funzione olomorfa .Singolarità isolate delle funzioni olomorfe e loro classificazione. Teorema di caratterizzazione dei punti regolariTeorema di caratterizzazione dei poli.Teorema di caratterizzazione delle singolarità essenziali. Il punto all’infinito. Residuo integrale di una funzione nei punti singolari isolati. Residuo integrale di una funzione nel punto all’infinito. Il teorema dei residui. Corollario del teorema dei residui.Applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali. I lemma di Jordan.
Spazi di Hilbert e serie di Fourier : Sistemi ortonormali. Spazio di Hilbert separabile. Teorema di caratterizzazione degli spazi di Hilbert separabili. Serie di Fourier. Il teorema della proiezione in un caso particolare. serie di Fourier in L2. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Teorema sulla separabilità dello spazio L2(-π, π)  .Serie di Fourier di funzioni periodiche di periodo T≠2π.
La trasformazione di Fourier : La trasformata di Fourier di una funzione sommabile. Il teorema di Riemann-Lebesgue. Proprietà della trasformata di Fourier.  Derivata e trasformata. Trasformata del prodotto di convoluzione. Teoremi di inversione della trasformata di Fourier.
La trasformazione di Laplace : Funzioni trasformabili e assolutamente trasformabili. Lemma sull’ascissa di convergenza e di assoluta convergenza.  Proprietà della trasformata di Laplace.  Trasformata di Laplace di una funzione periodica. Teorema di olomorfia della trasformata. Teorema di integrabilità della trasformata. Teorema sulla trasformata di Laplace di una derivata Teorema sulla trasformata di Laplace di un integrale. Trasformata di Laplace del prodotto di convoluzione  Il problema dell’antitrasformazione. Primo teorema di inversione. Secondo teorema di inversione. Applicazioni della trasformata di Laplace alle equazioni differenziali a coefficienti costanti.

Curricula scientifici dei docenti

Sono resi disponibili a cura del docente:_______________

Competenze attese in ingresso e/o Propedeuticità

 Propedeuticità: Analisi Matematica 1 , Algebra e geometria

Risultati d’apprendimento attesi

Anno del corso di studio in cui è inserito

 Secondo anno , primo e secondo semestre

Testi di riferimento

A.Esposito-R.Fiorenza Lezioni di Analisi Matematica parte D Liguori Editore

Bramanti-Pagani-Salsa Analisi Matematica 2 Zanichelli Editore

Adams R. A. Calcolo differenziale 2 Casa editrice Ambrosiana

N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone Analisi Matematica due Liguori Editore

G.Di Fazio-M.Frasca Metodi matematici per l’ingegneria Monduzzi Editore

S.Abenda,S.Matarasso Metodi matematici Editrice Esculapio

G.C.Barozzi Matematica per l’ingegneria dell’informazione Zanichelli Editore

M.Codegone Metodi matematici per l’ingegneria Zanichelli Editore

M.Codegone-M.Calanchi Metodi matematici per l’ingegneria Pitagora Editore

Materiale didattico aggiuntivo

Sono resi disponibili a cura del docente:_______________

Modalità di erogazione

Tradizionale.

Sede

Via Michelangelo - Via Roma 29 Aversa.

Organizzazione della didattica

 Le lezioni frontali sono tenute dal docente del corso, hanno durata di 120 minuti.
Sono previste  esercitazioni. che sono tenute al di fuori dell’orario di lezione, concordandone con gli allievi frequenza e durata in base alle loro necessità.

Modalità di frequenza

Obbligatoria

Metodi di valutazione

 Sono previste due prove intercorso.
Al termine del corso, è prevista una prova scritta , simile a quelli sviluppati nell’ambito del corso, ed un successivo colloquio orale per la valutazione finale.
Le prove sono fissate con cadenza almeno mensile  ed inoltre con 3 prove in ciascuna delle due finestre di esame.

Dati statistici delle votazioni conseguite dagli studenti

Sono resi disponibili a cura del docente:_______________

Calendario delle attività didattiche

http://www.cdcinformazione.unina2.it/calendari

Eventuali attività di supporto alla didattica

Orari di ricevimento studenti

Martedi  dalle 12:00 alle 15:00

 

Calendario delle prove di esame

https://esse3.ceda.unina2.it/Home.do